韦达定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个多边形各个顶点坐标的加权和与该多边形面积的乘积之间的关系。这个定理的公式表示为：
$$ A = \frac \sum_^ (x_y_ - x_y_) $$
其中，$A$ 表示多边形的面积，$n$ 表示多边形的边数，$x_i$ 和 $y_i$ 表示多边形顶点 $i$ 的坐标，$x_ = x_$，$y_ = y_$。
这个公式的推导过程可以通过向量叉积的性质来实现。叉积是两个向量所形成的新向量，它的大小等于两个向量的模长乘积与它们之间夹角的正弦值。对于两个二维向量 $\vec = (x_1, y_1)$ 和 $\vec = (x_2, y_2)$，它们的叉积可以表示为：
$$ \vec \times \vec = x_1 y_2 - x_2 y_1 $$
这个公式可以被理解为向量 $\vec$ 在向量 $\vec$ 上的投影乘以向量 $\vec$ 的模长，或者向量 $\vec$ 在向量 $\vec$ 上的投影乘以向量 $\vec$ 的模长。这个公式的符号表明了向量 $\vec$ 和 $\vec$ 所形成的角度是否为锐角或钝角。
对于一个多边形的任意一个三角形，它的面积可以通过三角形的两条边和它们之间的夹角的正弦值来计算。这个正弦值可以通过两个向量的叉积来计算。设三角形的顶点为 $(x_1, y_1)$，$(x_2, y_2)$ 和 $(x_3, y_3)$，则该三角形的面积为：
$$ A = \frac \left| \vec \times \vec \right| = \frac \left| (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1) \right| $$
其中，$\vec = (x_2-x_1, y_2-y_1)$ 和 $\vec = (x_3-x_1, y_3-y_1)$。这个公式可以通过将三角形分成若干个三角形并将它们的面积相加来推广到任意多边形，从而得到韦达定理的公式。
具体来说，将多边形分成 $n$ 个三角形，它们的共同顶点为多边形的一个顶点 $(x_1, y_1)$。则多边形的面积等于这些三角形的面积之和，即：
$$ A = \sum_^ \frac \left| (x_i - x_1)(y_ - y_1) - (x_ - x_1)(y_i - y_1) \right| $$
其中，$x_ = x_1$，$y_ = y_1$。将这个公式中的绝对值符号去掉，并将两个括号展开，可以得到韦达定理的公式：
$$ A = \frac \sum_^ (x_y_ - x_y_) $$
这个公式可以直接用于计算多边形的面积，而不需要将多边形分成三角形。